das deterministische Chaos

 

Fraktal des Tages

Fraktal des Tages

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Die Entstehung der Chaostheorie

 

Im 19. Jahrhundert war man sicher, daß sich mit den Newtonschen (Schwerkraft-)Gesetzten (linearen Gleichungen) die Planetenbahnen exakt berechnen lassen. Henri Poincare wies jedoch schon Anfang des 20. Jahrhunderts nach, daß dies nur auf idealisierte 2-Körper-Systeme zutraf, die es jedoch nur in Labors gibt. 

Sprott Gallery

Ein wesentliches Merkmal von Fraktalen ist ihre Selbstähnlichkeit. D.h. auf jeder "Ebene der Betrachtung" scheint sich das "große Muster" im Kleinen zu wiederholen

Jedoch durch den Tumult, der durch die Relativitäts- und Quantentheorie  ausgelöst wurde, kam dieser Angriff auf "den geordneten Ablauf der Dinge" in Vergessenheit. Man behalf sich bei sogenannten Mehrkörperproblemen damit, daß man Näherungsgleichungen aufstellte, die im allgemeinen zu einem 'passablen Ergebnis' führten. Im Laufe der Zeit verwechselte man jedoch  passables Ergebnis mit exaktem Ergebnis....

Erst in den 60er Jahren wurden Poincare's Untersuchungen aus alten Büchern ausgegraben und gingen in die neue Forschungsarbeit ein, die sich dem Nichtlinearen, der Rückkoppelung, der Entropie (Maß der Unordnung) und dem inhärenten Ungleichgewicht geordneter Systeme zuwandte.

... um damit  phantastische neue Einblicke in die Spiegelwelt der Natur zu eröffnen.

Apfelmännchen:

dieses Bild habe ich mit WINFRACT erzeugt (hier Download 317KB)

Das Bild ergibt sich aus der Formel: Zn = Zn-1² + c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

am Rande des Chaos

(Leben auf Messer Schneide)

Poincare's bizarre Effekte wurden als völlig irrelevante Ausnahmen dargestellt. Eine Gruppe von 3 Mathematikern (KAM genannt) hat dies jedoch 1954 anhand eines beeindruckenden Theorems widerlegt:

Sprott-Galery:

 

Aus ihren Rechnungen schlossen sie, daß das Sonnensystem sich nur dann nicht auflösen wird, wenn die zwei folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  • 1.  Es wird alles gutgehen, wenn der störende Einfluß eines dritten Planeten (..auf ein System von zwei Planeten) nicht größer ist, als es der Schwerkraft entspricht, die eine Fliege im Abstand Australiens auf uns ausübt. (.. an der Verfeinerung der Berechnung wird noch gearbeitet...)
  • 2. Die Jahre von bestimmten Planeten dürfen nicht in einem einfachen Zahlenverhältnis (1:2; 1:3; 2:3; usw.) stehen.
 

Würden die Planeten in solch einem 'einfachen Verhältnis' zueinander stehen, würden sich minimalste Störungen der Bahn durch Rückkoppelungen so verstärken, daß einer der Planeten schließlich in den Raum geschleudert wird. Das uns dies tatsächlich zu denken geben sollte, zeigen "die Lücken" im Asteroidengürtel und in den Ringen des Saturn....

Kochkurve

fraktale Dimension: 1,261..

fraktale ('gebrochene') Dimensionen kann man sich bildhaft an folgendem Beispiel vorstellen: Ein zerknittertes Butterbrotpapier ist zwar eine Fläche, aber je nach 'Zerknittertheit', ist die Oberfläche größer als die Grundfläche und nimmt bereits (etwas) Raum ein. = fraktale Dimension 2,131..

Anhand  dieser Lücken läßt sich auch gleich das erklären, was die Chaosforscher "fraktal" getauft haben: Innerhalb der Lücken der Saturnringe gibt es wiederum Ringe und diese haben ebenfalls wiederum Lücken.... D.h. auf jeder Skala, bzw. Ebene wechseln sich Ordnung (Gesetzmäßigkeiten) und Chaos ab, was wiederum auf eine Gesetzmäßigkeit höherer Ordnung schließen läßt, die .... usw.. Am anschaulichsten ist wahrscheinlich immer noch immer das "Apfelmännchen"  

Fraktalgenerator

(mit freundlicher Genehmingung von Eckhard Roessel)

Einfach nur mit der Maus einen Rahmen im Bild aufziehen und staunen....

Ein Apfelmännchen-Fraktal erzeugt man mit sogen. "Iterationen", d.h. man setzt das Ergebnis einer Berechnung in eine Formel ein, deren Ergebnis wiederum in eine Formel eingesetzt wird.... usw

 

 

 

 

 

 

 

 

 

der seltsame Attraktor

Ein weiterer Begriff, über den man in der Chaostheorie ständig stolpert, ist der seltsame Attraktor, den man in etwa mit einer Turbulenz vergleichen kann. Ein passendes Bild hierzu wäre vielleicht ein Wasserstrudel, der sich in einem Fluß gebildet hat: Ständig in Bewegung um einen (imaginären) Punkt, fortlaufend zerfallend und doch beständig...

Sprott-Galery:

seltsamer Attraktor

Lassen wir den Fluß nun etwas schneller fliesen, werden wir etwas bemerken, was man in der Chaosforschung "Periodenverdoppelung" nennt: Es bilden sich (vorläufig) zwei Strudel heraus, die sich solange stabil halten können, solange der Fluß seine Fließgeschwindigkeit beibehält - was er aber in unserem Beispiel nicht tut: ab einer gewissen Grenze (ab ca. 3 Verdoppelungen) kippt das System der regelmäßigen Verdoppelung und wird chaotisch, d.h. es wird nicht mehr vorhersagbar wann, wo und wieviel neue Strudel entstehen.

Ein entscheidender Punkt jedoch bleibt: Die entstehenden Strudel bleiben sich alle wiederum selbstähnlich (siehe Apfelmännchen und den Fraktalgenerator!).

             

Da man solche selbstähnlichen, 'chaotischen' Mustern überall in der Natur vorfindet, angefangen bei Küstenlinien von Inseln, Furchen in Berghängen, über das Wachstum der Pflanzen und das Verhalten von Tierpopulationen bishin zu den Börsenbewegungen ...

die selbstähnliche 'Fibonacci-Reihe' spielt in der Natur eine große Rolle

... hat die 'Chaostheorie' eine derartige Popularität erlangt, daß sie fast zu einer 'Mode_ver_umschreibung' verkommen ist, wenn man etwas besonders klug erklären möchte, man aber die richtigen Zusammenhänge nicht versteht.

 

 

 

 

 

 

 

 

Determiniertheiten

(Zufall und Gesetzmäßigkeiten)

Pascalsches  oder Sierpinski- Dreieck

Alle und v.a. biologische Systeme (also auch z.B. wir Menschen) unterliegen ständig dynamischen Turbulenzen und den damit verbundenen Iterationen (z.B. Blutkreislauf, Erneuerung der Körperzellen, Wachstum, Wetter,  Verkehrsbewegungen, Massenveranstaltungen, usw..), die für "Chaos" sorgen (könnten).  Ja man könnte sogar soweit hergehen und behaupten: wenn sich bei der Entstehung des Universums nur ein einziges Energiequant anders verhalten hätte, als es dies tatsächlich tat, würden wir gar nicht existieren!?

das Anthropische Prinzip im Multiversum

Nach all dem gesagten könnte man meinen, daß der Zufall in der Chaostheorie eine ganz große Rolle spielt.

Das Gegenteil ist jedoch der Fall:

Beim sogen determinstischen Chaos haben wir es mit ganz klaren Gesetzmäßigkeiten zu tun, die für Zufall nicht den geringsten Raum lassen. Es ist ein wesentlicher Unterschied ob etwas tatsächlich unbestimmt ist, wie z.B. in der Quantenphysik (Heisenbergs Unbestimmtheitsprinzip), oder ob die genauen Anfangsbedingungen zwar faktisch vorhanden, aber einfach nur unbekannt sind, wie hier beim deterministischen Chaos.

Beispiel:

Ich steige im Berliner Hauptbahnhof in einen Zug ein. Anstatt in den linken Zug, wähle ich aus versehen den Rechten:

Obwohl die Strecken am Anfang fast gleich sind, gibt es keine Weiche mehr die mich zu einem anderen Ziel bringt. Kleine Ursache, - eine nicht mehr zu korrigierende Entwicklung, da das Ende bereits fest vorgegeben ist, auch wenn wir es noch nicht 'erfahren' haben. Wenn wir wirklich in so einem Universum leben würden, wäre tatsächlich alles vorherbestimmt und von moralisch und ethischen Verwicklungen abgesehen, wäre dies tatsächlich ein trostloser Zustand.

 Ein schönes Beispiel, wie uns 'Determiniertheit' als Zufall begegnet, zeigt ...

 Das Chaos-Spiel

In der Chaos-Theorie ist das Pascalsche Dreieck als das "Sierpinsky-Dreieck" bekannt..

Interessanterweise erhält man dieses Sierpinsky-Dreieck ebenfalls, wenn man das sogen. "Chaos-Spiel" durchführt
    1.  Wähle einen beliebigen Startpunkt (o) im Dreieck ABC. 

2.Würfle. 

3. Verbinde den Punkt

    mit der Ecke A, wenn Du 1 oder 2 gewürfelt hast, 

    mit der Ecke B, wenn Du 3 oder 4 gewürfelt hast, 

    mit der Ecke C, wenn Du 5 oder 6 gewürfelt hast, 

    und bestimme den Mittelpunkt der Verbindungsstrecke. Dies ist der neue Punkt.

    4. Gehe nach 2.

    (hier Source-Code und weitere Java Aplets)

Wie werden sich die Punkte im Dreieck verteilen ? Da das Würfeln zufällig ist, können die Punkte doch nur "chaotisch" liegen. Oder ?

 Auch wenn wir glauben, in diesem Beispiel die freie (bzw. zufällige) Wahl zu haben, so ist doch das Endgergebnis vorherbestimmt

Die Chaostheorie liefert zwar interessante (Teil-) Einsichten und faszinierende Bilder, jedoch ist sie tief in der klassischen Physik verhaftet und entspricht somit nicht der Wirklichkeit. Tatsächlich haben wir eine freie Wahl, denn:

Die Wirklichkeit unterliegt den Gesetzen der Quantenphysik.

Grundbegriffe der Quantenphysik

 

 

 

 

 

 

  Multiversum  Grundbegriffe der Quantenphysik